JiaXin's notes

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刷题 ​

按原资料的 8 个章节整理。题目均为可复制的文字；公式使用 LaTeX 排版。

第一章 概率论基本概念 ​

1.1 随机事件之间的关系及其运算（必选） ​

  1. 设 为三个随机事件，分别写出下列事件：
    • 发生而 都不发生；
    • 都发生而 不发生；
    • 至少有一个发生；
    • 至少有两个发生；
    • 恰好有两个发生；
    • 恰好有一个发生；
    • 至少有一个发生而 不发生；
    • 都不发生。

1.2 利用概率的性质计算概率（可选） ​

  1. 设 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  2. 设 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  3. 设 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  4. 设 互不相容，且 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  5. 设 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  6. 已知 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  7. 设 ，则 的最大值为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  8. 设 ，若 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

1.3 古典概型的概率计算（必选） ​

  1. 甲、乙两射手同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为 。求：

    1. 恰有一人命中的概率；
    2. 至少有一人命中的概率。

  2. 袋中有 个球，其中白球 个、黑球 个。分别在有放回和不放回的情形下抽取 次，每次取一个球，求恰有 个白球的概率。

  3. 某射手一次射击中 环的概率分别为 。求：至少中 环、至多中 环的概率。

  4. 设 相互独立，且 。求：

    1. 恰有一个事件发生的概率；
    2. 至少有一个事件发生的概率；
    3. ；
    4. 。

  5. 甲、乙两批种子的发芽率分别为 ，各随机取一粒。求两粒都发芽、至少一粒发芽、恰有一粒发芽的概率。

1.4 几何概型的概率计算 ​

  1. 下列关于几何概型的说法错误的是（ ）

    A. 几何概型不是古典概型中的一种　B. 事件发生的概率与位置、形状无关

    C. 每一个结果的发生具有等可能性　D. 一次试验中可能出现无限个结果

  2. 地铁列车每 一班，在车站停 。乘客到达站台后立即能乘上车的概率为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  3. 在区间 上随机取 ， 的值介于 和 之间的概率为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  4. 已知矩形 ，， 为 的中点。在矩形内随机取一点，取到的点到 的距离大于 的概率为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  5. 设 独立且均匀分布于 ，则方程 有实根的概率为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  6. 边长为 的立方体内有半径为 的球。向立方体内随机投一点，点落在球内的概率为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  7. 在直角三角形 中随机取一点，该点位于斜边中线一侧的概率为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

1.5 条件概率和乘法定理 ​

  1. 一盒中有 只红球、 只白球。不放回依次抽取 个球，在第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  2. 已知 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  3. 设 ，下列各式正确的是（ ）

    A. 　B.

    C. 　D.

  4. 设 ，则必有（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  5. 抛掷红、黄两颗骰子。当红色骰子的点数为 或 时，两颗骰子点数乘积大于 的条件概率为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  6. 已知 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  7. 设 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  8. 设 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

1.6 全概率公式和贝叶斯公式（可选） ​

  1. 设 ，求 。

  2. 设 ，求 。

  3. 件产品中有 件次品，不放回抽取 次。求第二次抽到次品的概率。

  4. 承上题，若已知第二次抽到的是次品，求第一次抽到次品的概率。

  5. 人群中男女人数相等；男子中 患色盲症，女子中 患色盲症。求：随机抽取一人患色盲症的概率；已知其患色盲症，该人为男子的概率。

1.7 事件的独立性计算（可选） ​

  1. 设 相互独立，且 。下列等式成立的是（ ）

    A. 　B.

    C. 　D.

  2. 甲、乙、丙三人独立地翻译同一密码，他们能译出的概率分别为 ，则密码译不出的概率为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D. 以上都不对

  3. 设 相互独立，且 。求 、、、。

  4. 某射手独立射击 次，至少命中一次的概率为 ，则此射手一次射击的命中率为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

第二章 随机变量 ​

2.1 离散型随机变量（必选） ​

  1. 设 的分布律如下，求 ：
  1. 设 的分布律如下，求 ：

  1. 下列哪个属于离散型随机变量分布（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  2. 甲、乙两队乒乓球比赛的实力比为 ，均正常发挥。在五局三胜制中，甲队打完 局才胜的概率为（ ）

    A. 　B.

    C. 　D.

  3. 服从泊松分布，且 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  4. ，且 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  5. 设 的分布律为

则 为（ ）

A. 　B. 　C. 　D.

  1. 设 的分布律为

则 为（ ）

A. 　B. 　C. 　D.

2.2 分布函数和密度函数（必选） ​

  1. 设

求 、 及 。

  1. 设

求 、 及 。

  1. 设

求 及 。

  1. 设

求常数 及 。

  1. 设

求 、 及 的密度函数。

  1. 设

求 、 及 的密度函数。

2.3 正态分布（必选） ​

  1. ，则下列随机变量服从 的是（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  2. 若 ，则 的分布函数为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  3. ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  4. ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  5. ，求 ；，求 。

  6. ，且 ，求 。

2.4 随机变量函数的分布（可选） ​

  1. 已知 的分布律为

求 的分布函数与 的分布律。

  1. 已知 的分布律为

求 的分布函数与 的分布律。

  1. 已知 的分布律为

令 ，求 的分布律、分布函数及 。

  1. 已知

求 的密度函数。

  1. 已知

求 的密度函数。

  1. 已知

求 的密度函数。

第三章 随机向量 ​

3.1 二维离散型随机变量（可选） ​

  1. 设二维随机变量 的联合分布律为

令 。下列关系中错误的是（ ）

A. 　B. 　C. 　D.

  1. 设 的联合分布律为

则 为（ ）

A. 　B. 　C. 　D.

  1. 设 的联合分布律为

则 为（ ）

A. 　B. 　C. 　D.

  1. 设 的联合分布律为

求 。

  1. 设 的联合分布律为

求联合分布函数 。

3.2 二维连续型随机变量（必选） ​

  1. 设

求 。

  1. 设

求 。

  1. 设

求 。

  1. 设

求 与 。

  1. 设

求 与 。

3.3 联合分布和边缘分布（必选） ​

  1. 设 的联合分布律为

求 ，并求 的边缘分布律。

  1. 设 的联合分布律为

求 ，并求 的边缘分布律。

  1. 设 的联合分布律为

求 、 的边缘分布律，并判断 是否独立。

  1. 设

求常数 、联合分布函数，以及 。

  1. 设

求常数 以及 的边缘密度。

  1. 设

求常数 以及 的边缘密度。

3.4 相互独立的随机变量（必选） ​

  1. 设 的联合密度为 ，边缘密度为 。若 相互独立，正确的是（ ）

    A. 　B.

    C. 　D.

  2. 设 相互独立，联合分布律为

求 。

  1. 设 相互独立，联合分布律为

求 。

  1. 设

判断 是否独立，并说明理由。

第四章 随机变量的数字特征 ​

4.1 数学期望（可选） ​

  1. 设 的分布律为

求 、。

  1. 设 ，求 ；设 ，求 。

  2. 若 ，求 ；若 的期望存在，求 。

  3. 已知

求 与 。

4.2 方差（必选） ​

  1. 设 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  2. 设 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  3. 若 ，求 ；若 ，求 。

  4. ，则 的方差为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  5. 若 相互独立，，求 、。

4.3 数学期望和方差综合题（必选） ​

  1. 设 的分布律为

求 、。

  1. 设连续型随机变量 的密度为

求 、。

  1. 设 相互独立，且 。求 与 。

  2. 若 ，求 、。

4.4 协方差与相关系数（必选） ​

  1. 设 ，求 。

  2. 若 相互独立，证明 。

  3. 已知 ，求相关系数 。

  4. 若 ，其中 ，求 。

第五章 大数定律和中心极限定理 ​

5.1 切比雪夫不等式（必选） ​

  1. 设 ，写出切比雪夫不等式。

  2. 设 ，利用切比雪夫不等式估计 的下界。

  3. 若随机变量 的方差为 ，求 的上界。

5.2 大数定律和中心极限定理 ​

  1. 说明切比雪夫大数定律的结论。

  2. 若 独立同分布，，写出林德伯格-列维中心极限定理。

  3. 某批产品的次品率为 ，随机抽取 件。用中心极限定理近似计算次品数落在给定区间内的概率。

  4. 独立重复试验中，每次成功概率为 。当试验次数很大时，说明二项分布的正态近似条件及标准化形式。

第六章 数理统计的基本概念 ​

6.1 三大统计分布（可选） ​

  1. 设 来自 ，写出 的分布。

  2. 设 且相互独立，写出 的分布。

  3. 设 且相互独立，写出 的分布。

  4. 下列统计量中服从 的是（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

6.2 正态总体的样本均值与样本方差的分布（可选） ​

  1. 设 来自总体 ，写出样本均值 的分布。

  2. 写出统计量

的分布。

  1. 写出统计量

的分布。

  1. 当 均未知时，写出

的分布。

6.3 抽样分布综合题（必选） ​

  1. 在总体 中随机抽取容量为 的样本，求 的概率。已知 。

  2. 在总体 中随机抽取容量为 的样本，求 的概率。已知 。

  3. 在总体 中随机抽取容量为 的样本，求 的概率。已知 。

  4. 设 为来自 的样本，令

确定常数 ，使 服从卡方分布。

  1. 设 为来自 的样本，确定常数 ，使给定的由样本线性组合构成的统计量服从 分布。

  2. 设 为来自 的样本，确定 ，使

服从 分布。

第七章 参数估计 ​

7.1 矩估计（必选） ​

  1. 设随机变量 的分布律为

求 的矩估计量。

  1. 设随机变量 的分布律为

求 的矩估计量。

  1. 总体 ，其中 未知， 为样本， 为样本均值。求 的矩估计量。

  2. 总体 ，其中 未知。求 的矩估计量。

  3. 总体 ， 为样本均值。求 的矩估计量。

  4. 总体密度为

求 的矩估计量。

  1. 总体密度为

求 的矩估计量。

  1. 总体密度为

求 的矩估计量。

7.2 极大似然估计（可选） ​

  1. 总体 ，其中 未知，求 的极大似然估计量。

  2. 设 的分布律为

观测样本为 ，求 的极大似然估计值。

  1. 总体密度为

给定样本观察值 ，求 的极大似然估计量。

  1. 总体密度为

给定样本观察值 ，求 的极大似然估计量。

  1. 总体密度为

给定样本观察值 ，求 的极大似然估计量。

7.3 无偏估计和有效估计（必选） ​

  1. 设 来自 ，且 均未知。 的无偏估计量是（ ）

    A.

    B.

    C.

    D.

  2. 设 来自 ，下列哪一个是 的无偏估计量（ ）

    A.

    B.

    C.

    D.

  3. 设 ，则 的无偏估计量为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  4. 设 为来自总体 的样本。若

是 的无偏估计量，求 。

  1. 设 为来自 的样本。若

是 的无偏估计量，求 。

  1. 设 均为参数 的无偏估计量。若 比 更有效，正确的是（ ）

    A. 　B.

    C. 　D.

  2. 设 来自 ，比较下列 的无偏估计量的有效性：

  1. 设 来自 ，比较下列 的无偏估计量的有效性：

7.4 区间估计（必选） ​

  1. 来自 。当 已知时，写出 的置信度为 的置信区间。

  2. 当 未知时，写出 的置信度为 的置信区间。

  3. 当 未知时，写出 的置信度为 的置信区间。

  4. 对总体参数进行区间估计，下列说法正确的是（ ）

    A. 置信度越大，置信区间越短　B. 置信度越大，置信区间越长

    C. 置信度越小，置信区间越长　D. 置信度与区间长度无关

  5. 一批材料抗断强度 。抽取容量为 的样本，得 。已知 ，求置信度 时 的置信区间。

  6. 从 中抽取容量为 的样本，得 。已知 ，求置信度 时 的置信区间。

  7. 从 中抽取容量为 的样本，得 。已知 ，求置信度 时 的置信区间。

  8. 从 中抽取容量为 的样本，得 。已知 ，求置信度 时 的置信区间。

第八章 假设检验 ​

8.1 假设检验的概念（可选） ​

  1. 对正态总体均值进行检验。在显著性水平 下接受 ，则在显著性水平 下（ ）

    A. 不接受也不拒绝 　B. 可能接受也可能拒绝

    C. 必拒绝 　D. 必接受

  2. 在假设检验中，犯第一类错误的概率是（ ）

    A. 不成立时拒绝 　B. 不成立时接受

    C. 成立时拒绝 　D. 成立时接受

  3. 设显著性水平为 ，则 为（ ）

    A. 　B. 　C. 　D.

  4. 在假设检验中， 为原假设， 为备择假设。第一类错误是（ ）

    A. 成立时拒绝 　B. 成立时拒绝

    C. 成立时拒绝 　D. 成立时拒绝

8.2 单个总体假设检验（必选） ​

  1. 来自 ，检验 对 。当 已知时采用的统计量为（ ）

    A. 　B.

    C. 　D.

  2. 来自 。检验 对 ，应采用的统计量为（ ）

    A. 　B.

    C. 　D.

  3. 来自 。检验 ，当 未知时采用的统计量为（ ）

    A. 　B.

    C. 　D.

  4. 来自 ，且 未知。检验 时采用的统计量为（ ）

    A. 　B.

    C. 　D.

  5. 某炼铁厂铁水含碳量在正常情况下服从 。现抽测 炉，含碳量（%）为 。在 下，若标准差不变，检验总体均值是否显著变化。

  6. 某城市购房业主年龄服从 。今年随机抽取 名业主，样本均值为 岁。在 下，检验平均年龄是否显著变化。

  7. 正常情况下袋装盐重量 。随机抽取 袋，得 。在 下，检验平均袋重是否为 。

  8. 自动包装机每袋产品重量服从 。某天抽取 袋，得 。在 下，方差不变时检验机器工作是否正常。

  9. 某校考生数学成绩服从正态分布。随机抽取 位考生，得 。在 下，检验总体平均成绩是否为 分。

  10. 某果汁产品维生素含量 ，其中 未知。抽取 件，得 。在 下，检验总体均值是否为 （单位：毫克）。

  11. 某种矿砂的 个样品含镍量（%）为 。假设含镍量服从正态分布，在 下，检验总体均值是否为 。

  12. 某种零件的长度服从正态分布。随机抽取 件，测得长度（mm）为 。在 下，检验总体平均长度是否为 。

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