理论知识

根据《2026年春概率论与数理统计复习资料（初稿）》整理。

1. 随机事件及其运算

设 为三个事件：

1. A 发生而 B、C 都不发生：。
2. A、B 都发生而 C 不发生：。
3. 至少一个发生：。
4. 至少两个发生：。
5. 恰好两个发生：。
6. 恰好一个发生：。
7. A、B 至少一个发生而 C 不发生：。
8. 三个事件都不发生：。

德摩根律：，。

2. 概率、条件概率与独立性

• 。
• 有限可加性：若 两两互不相容，。
• 差事件：。若 ，，且 。
• 逆事件：。
• 加法公式：。
• 条件概率：，其中 。
• 乘法定理：。
• 独立性： 独立当且仅当 。

3. 全概率公式与贝叶斯公式

若 为样本空间的一个划分，且 ，则：

4. 古典概型

5. 一维随机变量

5.1 分布函数

性质：单调不减；；、；右连续。

5.2 离散型随机变量

分布律中的 ，且 。常见分布：两点分布 、二项分布 、泊松分布 。

5.3 连续型随机变量

概率密度 满足 、；

在连续点，。

5.4 常见连续型分布

若 ，则 ，，且 。

6. 二维随机变量

• 离散型联合分布律：，。
• 连续型联合密度：，；。
• 边缘分布：，；，。
• 条件分布：；。
• 独立时：；离散型 ；连续型 。

7. 数字特征

7.1 数学期望与方差

• ，，；独立时 。
• ，。
• ；独立时 。

分布
两点分布
二项分布
泊松分布
均匀分布
指数分布
正态分布

7.2 协方差、相关系数与切比雪夫不等式

独立时，。

8. 数理统计

8.1 样本与抽样分布

• 若 来自 ，则 ，且 ，。
• 若 、 且独立，。
• 若 、 且独立，。
• 对正态总体 ，有 、、。

8.2 参数估计

• 矩估计：计算总体矩与样本矩，令两者相等，求出参数估计量。
• 无偏估计：。
• 有效估计：同为无偏估计时，方差较小者更有效。
• 已知时， 的 置信区间为 。
• 未知时，将上式中的 、 分别替换为 、。

8.3 假设检验

原假设与对立假设可写为 ，，也可写成单侧形式。

• 方差已知时，使用 。
• 方差未知时，使用 。
• 双侧检验中，统计量绝对值超过临界值，则在显著性水平 下拒绝 。